【早覚え速解法】半角の公式の覚え方

半角の公式の覚え方は、2倍角の公式を使った方法で秒速で作り出すので覚えないです。

慣れてきたら、二倍角の公式の覚え方にある三角関数を省略して記述する事により導出を迅速化する迅速導出法を使います。

Tanの半角の公式はSinとCosから簡潔に導き出します。

ページの最後にハイレベル例題を用意しました。

\begin{array}{l} \tan^{2} \frac{𝜃}{2} = \frac{\sin^{2} \frac{𝜃}{2}}{\cos^{2} \frac{𝜃}{2}} \\ \begin{matrix} 半 角 の 公 式 \\ \sin^{2} \frac{𝜃}{2} = \frac{1 - \cos 𝜃}{2} \\ \cos^{2} \frac{𝜃}{2} = \frac{1 + \cos 𝜃}{2} \end{matrix} \\ = \frac{1 - \cos 𝜃}{2} \div \frac{1 + \cos 𝜃}{2} \\ = \frac{1 - \cos 𝜃}{2} \times \frac{2}{1 + \cos 𝜃} \\ ∴ \tan^{2} \frac{𝜃}{2} = \frac{1 - \cos 𝜃}{1 + \cos 𝜃} \end{array}

2倍角の公式 → 三角関数の相互関係 → α=θ/2代入の流れです。

\begin{array}{l} \cos 2 𝛼 = \underline{\cos^{2} 𝛼} - \sin^{2} 𝛼 \\ \begin{matrix} \cos^{2} 𝛼 に 有 名 公 式 を 代 入 \\ 三 角 関 数 の 相 互 関 係 \\ \sin^{2} 𝛼 + \cos^{2} 𝛼 = 1 \\ \cos^{2} 𝛼 = 1 - \sin^{2} 𝛼 \end{matrix} \\ \cos 2 𝛼 = \underline{1 - \sin^{2} 𝛼} - \sin^{2} 𝛼 \\ \cos 2 𝛼 = 1 - 2 \sin^{2} 𝛼 \\ \cos 2 𝛼 - 1 = - 2 \sin^{2} 𝛼 \\ \times (- 1) で 符 号 処 理 \\ - \cos 2 𝛼 + 1 = 2 \sin^{2} 𝛼 \\ 2 \sin^{2} 𝛼 = - \cos 2 𝛼 + 1 \\ 2 \sin^{2} 𝛼 = 1 - \cos 2 𝛼 \\ \sin^{2} 𝛼 = \frac{1 - \cos 2 𝛼}{2} \\ 𝛼 ＝ \frac{𝜃}{2} を 代 入 \\ \sin^{2} \frac{𝜃}{2} = \frac{1 - \cos (\frac{2 𝜃}{2})}{2} \\ \sin^{2} \frac{𝜃}{2} = \frac{1 - \cos 𝜃}{2} \end{array}

同様に、2倍角の公式 → 三角関数の相互関係 → α=θ/2代入の流れです。

\begin{array}{l} \cos 2 𝛼 = \cos^{2} 𝛼 - \underline{\sin^{2} 𝛼} \\ \begin{matrix} \sin^{2} 𝛼 に 有 名 公 式 を 代 入 \\ 三 角 関 数 の 相 互 関 係 \\ \sin^{2} 𝛼 + \cos^{2} 𝛼 = 1 \\ \sin^{2} 𝛼 = 1 - \cos^{2} 𝛼 \end{matrix} \\ \cos 2 𝛼 = \cos^{2} 𝛼 - \underline{(1 - \cos^{2} 𝛼}) \\ \cos 2 𝛼 = \cos^{2} 𝛼 - 1 + \cos^{2} 𝛼 \\ \cos 2 𝛼 = 2 \cos^{2} 𝛼 - 1 \\ \cos 2 𝛼 + 1 = 2 \cos^{2} 𝛼 \\ 2 \cos^{2} 𝛼 = \cos 2 𝛼 + 1 \\ 2 \cos^{2} 𝛼 = 1 + \cos 2 𝛼 \\ \cos^{2} 𝛼 = \frac{1 + \cos 2 𝛼}{2} \\ 𝛼 ＝ \frac{𝜃}{2} を 代 入 \\ \cos^{2} \frac{𝜃}{2} = \frac{1 + \cos (\frac{2 𝜃}{2})}{2} \\ \cos^{2} \frac{𝜃}{2} = \frac{1 + \cos 𝜃}{2} \end{array}

半角の公式の例題

以下は難関大学レベルのハイレベル例題です。解説は数学モンスターの動画を見てください。

さあ！今日から半角の公式をドンドン使おう！