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和積の公式と積和の公式の覚え方

和積の公式と積和の公式の覚え方は、加法定理から順番に導出していきます。

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加 法 定 理 sin ( 𝛼 + 𝛽 ) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 ⋯ ① sin ( 𝛼 − 𝛽 ) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 ⋯ ② cos ( 𝛼 + 𝛽 ) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 ⋯ ③ cos ( 𝛼 − 𝛽 ) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 ⋯ ④ ⇓ ① + ② , ① − ② , ③ + ④ , ③ − ④ を 計 算 ⇓ ① + ② sin ( 𝛼 + 𝛽 ) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 + ) sin ( 𝛼 − 𝛽 ) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 _ sin ( 𝛼 + 𝛽 ) + sin ( 𝛼 − 𝛽 ) = 2 sin 𝛼 cos 𝛽 ∴ sin 𝛼 cos 𝛽 = 1 2 { sin ( 𝛼 + 𝛽 ) + sin ( 𝛼 − 𝛽 ) } ① − ② sin ( 𝛼 + 𝛽 ) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 − ) sin ( 𝛼 − 𝛽 ) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 _ sin ( 𝛼 + 𝛽 ) − sin ( 𝛼 − 𝛽 ) = 2 cos 𝛼 sin 𝛽 ∴ cos 𝛼 sin 𝛽 = 1 2 { sin ( 𝛼 + 𝛽 ) − sin ( 𝛼 − 𝛽 ) } ③ + ④ cos ( 𝛼 + 𝛽 ) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 + ) cos ( 𝛼 − 𝛽 ) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 _ cos ( 𝛼 + 𝛽 ) + cos ( 𝛼 − 𝛽 ) = 2 cos 𝛼 sin 𝛽 ∴ cos 𝛼 sin 𝛽 = 1 2 { cos ( 𝛼 + 𝛽 ) + cos ( 𝛼 − 𝛽 ) } ③ − ④ cos ( 𝛼 + 𝛽 ) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 − ) cos ( 𝛼 − 𝛽 ) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 _ cos ( 𝛼 + 𝛽 ) − cos ( 𝛼 − 𝛽 ) = − 2 sin 𝛼 sin 𝛽 ∴ sin 𝛼 sin 𝛽 = − 1 2 { cos ( 𝛼 + 𝛽 ) − cos ( 𝛼 − 𝛽 ) } ⇓ 積 ⇨ 和 の 公 式 sin 𝛼 cos 𝛽 = 1 2 { sin ( 𝛼 + 𝛽 ) + sin ( 𝛼 − 𝛽 ) } cos 𝛼 sin 𝛽 = 1 2 { sin ( 𝛼 + 𝛽 ) − sin ( 𝛼 − 𝛽 ) } cos 𝛼 cos 𝛽 = 1 2 { cos ( 𝛼 + 𝛽 ) + cos ( 𝛼 − 𝛽 ) } sin 𝛼 sin 𝛽 = − 1 2 { cos ( 𝛼 + 𝛽 ) − cos ( 𝛼 − 𝛽 ) } ⇓ 𝛼 + 𝛽 = A , 𝛼 − 𝛽 = B と お く と 𝛼 + 𝛽 = A + ) 𝛼 − 𝛽 = B _ 2 𝛼 = A + B 𝛼 + 𝛽 = A − ) 𝛼 − 𝛽 = B _ 2 𝛽 = A − B ∴ 𝛼 = A + B 2 , 𝛽 = A − B 2 ⇓ 和 ⇨ 積 の 公 式 sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A − B 2 sin A − sin B = 2 cos A + B 2 sin A − B 2 cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A − B 2 cos A − cos B = − 2 sin A + B 2 sin A − B 2
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和積の公式と積和の公式の例題

以下は難関大学レベルのハイレベル例題です。解説は数学モンスターの動画を見てください。

さあ！今日から和積の公式と積和の公式をドンドン使おう！

例題1

和積の公式・積和の公式の例題1
和積の公式・積和の公式の例題1

例題1のYOUTUBE解説

例題2

和積の公式・積和の公式の例題2
和積の公式・積和の公式の例題2

例題2のYOUTUBE解説