【計算テクニック】2の10乗の覚え方と2の9乗・20乗の計算

2の10乗の覚え方と2の9乗などの簡単な計算方法です。

2¹⁰＝1024はそのまま覚えますが、1024を覚えることによって2⁹、2⁸、2⁷、2⁶を割り算で簡単に導きやすくします。

2の11乗、2の12乗も1024から簡単に掛け算できます。

2の5乗の辺りまで2から掛け算で計算した方が速いです。

１０２４（そのまま覚える）

\begin{array}{l} 2^{5} \times 2^{5} \\ = (32)^{2} \\ = (30 + 2)^{2} \\ = 30^{2} + 2 \times 30 \times 2 + 2^{2} \\ = 900 + 120 + 4 \\ = 1024 \end{array}

マイナス2の10乗とカッコマイナス2の10乗の違い

\begin{array}{l} - (2^{10}) \\ = - 1024 \\ (- 2)^{10} \\ = 1024 \end{array}

\begin{array}{l} (\frac{1}{2})^{10} \\ = \frac{1^{10}}{2^{10}} \\ \begin{matrix} 1^{10} = 1 \\ 2^{10} = 1024 \end{matrix} \\ = \frac{1}{1024} \end{array}

2の20乗は1024と乗法公式を使った方法で式の展開のみで導き出します。

\begin{array}{l} 2^{20} = 1024 \times 1024 \\ = (1000 + 24)^{2} \\ = 1000^{2} + 2 \times 1000 \times 24 + 24^{2} \\ = 1000 \times 1000 + 2 \times 1000 \times 24 + (20 + 4)^{2} \\ = 1000 \times 1000 + 2 \times 1000 \times 24 + 20^{2} + 2 \times 20 \times 4 + 4^{2} \\ = 1000000 + 48000 + 400 + 160 + 16 \\ = 1048576 \end{array}

よく質問される10は2の何乗か？について計算してみました。

近似値3.32193が導き出されます。

以下はグラフと常用対数を利用した計算式です。

\begin{array}{l} 10 = 2^{x} \\ \log_{10} 10 = \log_{10} 2^{x} \\ \log_{10} 10 = x \log_{10} 2 \\ x = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 2} \\ \begin{matrix} \log_{10} 10 = 1 \\ \log_{10} 2 = 0.30102999566 \end{matrix} \\ = \frac{1}{0.30102999566} \\ \approx 3.321928094 \end{array}

同様に、24は2の何乗か？について計算してみました。

近似値4.58496が導き出されます。

\begin{array}{l} 24 = 2^{x} \\ 8 \times 3 = 2^{x} \\ 2^{3} \times 3 = 2^{x} \\ 3 = \frac{2^{x}}{2^{3}} \\ 3 = 2^{x - 3} \\ \log_{10} 3 = \log_{10} 2^{x - 3} \\ \log_{10} 3 = (x - 3) \log_{10} 2 \\ x - 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2} \\ x = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2} + 3 \\ \begin{matrix} \log_{10} 2 = 0.30102999566 \\ \log_{10} 3 = 0.47712125472 \end{matrix} \\ x = \frac{0.47712125472}{0.30102999566} + 3 \\ \approx 4.58496 \end{array}

ここでは、128の2乗は上で覚えた1024を使って掛け算することで導出します。

2¹⁴=16384

\begin{array}{l} 128 = 2^{7} \\ (128)^{2} = (2^{7})^{2} \\ = 2^{14} \\ 2^{14} = 16384 \\ 2^{13} = 8192 \\ 2^{12} = 4096 \\ 2^{11} = 2048 \\ 2^{10} = 1024 \end{array}

ルート8は2の何乗？かは指数法則を使って簡単に導き出せます。

\begin{array}{l} \sqrt{8} = 2^{x} \\ \sqrt[]{2^{3}} = 2^{\frac{3}{2}} \\ ∴ X = \frac{3}{2} \end{array}