【語呂合わせ】三倍角の公式の覚え方

3倍角の公式の覚え方
3倍角の公式の覚え方

一見、数Ⅱの三角関数は覚える公式が多いように感じますが、実は違います。

三倍角の公式はSinだけゴロで簡単に覚えて、それ以外は覚えるべきではありません。

さて、3倍角の公式の語呂合わせと言えば、サンシャイン良美が古典的なゴロとして有名ですが、ZOOM医進館のゴロは符号の情報が追加されている上に更に覚えやすく上位互換のゴロと言えます。

ZOOM医進館のゴロでサクッと覚えて、ドンドン使いこなして、変形後のイメージが楽に見えてる状態にしましょう。

では、本邦初公開です。

3歳はダメ4歳は見事

3歳(Sin)はダメ(ー)4歳(Sin)は見(3乗)事

片方のSINだけ覚えて、COSはSINの前半部分と後半部分を入れ替えた形です。

ちなみに、この片方だけ覚えるテクニックは記憶術の定番のひとつです。

三倍角の公式の覚え方(SINからCOS)
三倍角の公式の覚え方(SINからCOS)

短期記憶の並べ替えクイズを用意しています。

瞬間記憶力テストにワープ

このページの最後に例題を用意してます。Youtube解説動画あり。

ハイレベル例題にワープ

瞬間記憶力テスト

(1)SINの三倍角の公式を正しい順番に並べ替えなさい。
 
  • Sin3θ
  • Sinθ
  • Sinθ

(2)COSの三倍角の公式を正しい順番に並べ替えなさい。
 

  • Cosθ
  • Cosθ
  • Cos3θ

SINとCOSの3倍角の公式

sin 3 𝛼 = 3 sin 𝛼 4 sin 3 𝛼
cos 3 𝛼 = 4 cos 3 𝛼 3 cos 𝛼

tanの3倍角の公式

Tan3θは無理せずに導出します。

二倍角の公式の覚え方の迅速導出法で関数を省略して変形をスピードアップ出来ますので、慣れてきたら以下の変形も大した変形にならないです。

3倍角の公式(tan)
3倍角の公式(tan)

三角比の相互関係の公式の証明

1 cos 2 𝛼 sin 2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1 = cos 2 𝛼 + sin 2 𝛼 cos 2 𝛼 = cos 2 𝛼 cos 2 𝛼 + sin 2 𝛼 cos 2 𝛼 = 1 + tan 2 𝛼 tan 2 𝛼 tan 2 𝛼 = 1 cos 2 𝛼 1

三倍角の公式の求め方(証明)

一般的な三倍角の公式の証明方法と省略表記法、ドモアブルの定理の方法の3通りを紹介。

SINの証明

SINの3倍角の公式の証明です。

加法定理 → 2倍角の公式 → 三角比の相互関係を順に使いながら式を整理して導出します。

加法定理の覚え方はこちら

2倍角の公式の覚え方はこちら(秒速導出法)

sin 3 𝛼 = sin ( 2 𝛼 + 𝛼 ) sin ( 𝛼 + 𝛽 ) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 = sin 2 𝛼 _ cos 𝛼 + cos 2 𝛼 _ sin 𝛼 2 sin 2 𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼 cos 2 𝛼 = cos 2 𝛼 sin 2 𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼 _ cos 𝛼 + ( cos 2 𝛼 sin 2 𝛼 _ ) sin 𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 2 𝛼 _ + ( cos 2 𝛼 _ sin 2 𝛼 ) sin 𝛼 sin 2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1 cos 2 𝛼 = 1 sin 2 𝛼 = 2 sin 𝛼 ( 1 sin 2 𝛼 ) _ + ( 1 sin 2 𝛼 _ sin 2 𝛼 ) sin 𝛼 = 2 sin 𝛼 ( 1 sin 2 𝛼 ) + ( 1 2 sin 2 𝛼 ) sin 𝛼 = 2 sin 𝛼 2 sin 3 𝛼 + sin 𝛼 2 sin 3 𝛼 = 3 sin 𝛼 4 sin 3 𝛼

COSの証明

同様に、COSの3倍角の公式の証明です。

cos 3 𝛼 = cos ( 2 𝛼 + 𝛼 ) cos ( 𝛼 + 𝛽 ) = cos 𝛼 cos 𝛽 sin 𝛼 sin 𝛽 = cos 2 𝛼 _ cos 𝛼 sin 2 𝛼 _ sin 𝛼 2 sin 2 𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼 cos 2 𝛼 = cos 2 𝛼 sin 2 𝛼 = ( cos 2 𝛼 sin 2 𝛼 _ ) cos 𝛼 ( 2 sin 𝛼 cos 𝛼 _ ) sin 𝛼 = cos 3 𝛼 sin 2 𝛼 _ cos 𝛼 2 sin 2 𝛼 _ cos 𝛼 sin 2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1 sin 2 𝛼 = 1 cos 2 𝛼 = cos 3 𝛼 ( 1 cos 2 𝛼 _ ) cos 𝛼 2 ( 1 cos 2 𝛼 _ ) cos 𝛼 = cos 3 𝛼 cos 𝛼 + cos 3 𝛼 2 cos 𝛼 + 2 cos 3 𝛼 = 4 cos 3 𝛼 3 cos 𝛼

省力型

省力型で、2倍角の公式の迅速導出法も使いながら導出します。

COSもTANも同様に証明して下さい。

3倍角の公式の証明
3倍角の公式の証明

ドモアブルの定理で証明

Nに3を代入して展開して整理すれば導出できます。

演習代わりにCOS3ΘとSIN3Θ導出してみてください。

ドモアブルの定理
ドモアブルの定理

三倍角の公式のハイレベル例題

以下は難関大学レベルの例題です。解説は数学モンスターの動画を見てください。

さあ!今日から三倍角の公式をドンドン使おう!

練習問題1

練習問題1
練習問題1

練習問題1の解説

練習問題2

3倍角の公式練習問題2
3倍角の公式練習問題2

練習問題2の解説